期中考試臨近，整個高三年級都陷入了緊張的復(fù)習(xí)氛圍中。
我卻顯得格外從容，因為對我來說，這些考試內(nèi)容早已爛熟于心。
不過，最近我遇到了一個新的挑戰(zhàn)。
數(shù)學(xué)競賽的指導(dǎo)老師李教授找到了我。
"林浩，我聽張老師說你對數(shù)學(xué)競賽很感興趣？"
李教授是我們市數(shù)學(xué)競賽的總教練，曾經(jīng)培養(yǎng)出多個全國金牌選手。
"是的，李教授。我想挑戰(zhàn)更高難度的數(shù)學(xué)問題。"
"很好！"李教授滿意地點頭，"不過數(shù)學(xué)競賽和高考數(shù)學(xué)完全不同，需要更深層的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。你確定要走這條路嗎？"
"我確定。"
"那好，從下周開始，你每周六下午來我的辦公室，我單獨給你輔導(dǎo)。"
太好了！
有了專業(yè)指導(dǎo)，我的競賽數(shù)學(xué)水平一定能快速提升。
期中考試如期舉行。
這次考試的題目比月考更難，特別是數(shù)學(xué)卷的最后兩道題，據(jù)說是從往年的競賽題中改編的。
我拿到試卷，快速瀏覽了一遍。
確實，最后兩道題的難度明顯超出了普通高考水平。
第一道題：
"已知橢圓C：x2/a2 + y2/b2 = 1 (a＞b＞0)，F(xiàn)?、F?是左右焦點。過F?的直線l與橢圓交于A、B兩點，且∠AF?B = 90°。求橢圓離心率e的取值范圍。"
這道題綜合了解析幾何、三角函數(shù)和不等式，需要很強(qiáng)的計算能力和幾何直覺。
我開始分析：
設(shè)直線l的方程為x = my - c（其中c是焦距的一半）
聯(lián)立橢圓方程，得到A、B兩點的坐標(biāo)...
通過∠AF?B = 90°的條件，建立關(guān)于m的方程...
經(jīng)過復(fù)雜的計算，我得出了e的取值范圍：√2/2 ≤ e ＜ 1
第二道題更加困難：
"數(shù)列{a?}滿足a? = 1，a??? = a? + 1/a?。證明：√n ＜ a? ＜ √n + 1/2√n"
這是一個遞推數(shù)列的估計問題，需要用到數(shù)學(xué)歸納法和精細(xì)的不等式技巧。
我先研究數(shù)列的性質(zhì)：
a? = 1 a? = 1 + 1/1 = 2 a? = 2 + 1/2 = 2.5 a? = 2.5 + 1/2.5 = 2.9
可以觀察到數(shù)列是遞增的，而且增長速度逐漸放緩。
對于不等式的證明，我采用數(shù)學(xué)歸納法：
首先證明a? ＞ √n...
然后證明a? ＜ √n + 1/2√n...
這需要用到一些巧妙的放縮技巧和對數(shù)列性質(zhì)的深刻理解。
經(jīng)過半個小時的推導(dǎo)，我完成了完整的證明。
【恭喜宿主解出競賽級難題，獲得積分3000！】
【恭喜宿主解出競賽級難題，獲得積分3000！】
兩道題都做出來了！
我檢查了一遍前面的基礎(chǔ)題，確認(rèn)沒有計算錯誤后，提前半小時交卷。
走出考場，我看到其他同學(xué)都是一臉疲憊。
"林浩，最后兩道題你做出來了嗎？"王強(qiáng)問我。
"試了試，不知道對不對。"我謙虛地說。
"我連題目都沒看懂，"王強(qiáng)苦笑，"特別是第二道數(shù)列題，完全不知道從何下手。"
其他幾個同學(xué)也紛紛表示最后兩道題太難了。
看來這次考試的區(qū)分度會很大。
理綜考試中，我同樣遇到了幾道有挑戰(zhàn)性的題目。
物理的最后一道題是關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場中的運動，需要綜合運用電場、磁場和運動學(xué)知識。
化學(xué)有一道有機(jī)合成的推斷題，涉及到多個反應(yīng)步驟和機(jī)理分析。
生物的遺傳題考查了三因子雜交的復(fù)雜情況。
但這些對我來說都不算太難，我都能順利解出。
語文和英語就更不用說了，憑借我的語文素養(yǎng)和英語語感，基本沒有障礙。
考試結(jié)束后，我立即投入到競賽數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。
李教授給我安排的第一次輔導(dǎo)很快到來。
"林浩，我先測試一下你的競賽數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。"李教授拿出一道題目，"這是去年省賽的一道題，你試試看。"
題目是：
"證明：對于任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)k，使得2? - 1被n整除。"
這是一道數(shù)論題，涉及到循環(huán)周期的概念。
我思考了一會兒，開始證明：
"考慮數(shù)列：21-1, 22-1, 23-1, ...
由于這些數(shù)模n只能取0, 1, 2, ..., n-1這n個值，根據(jù)鴿籠原理，必然存在i ＜ j，使得2?-1 ≡ 2?-1 (mod n)
即2?(2???-1) ≡ 0 (mod n)
由于gcd(2?, n) = 1（當(dāng)n為奇數(shù)時），所以2???-1 ≡ 0 (mod n)
因此k = j-i就是我們要找的正整數(shù)。"
"等等，"李教授打斷我，"如果n是偶數(shù)怎么辦？"
我意識到自己的證明有漏洞。
"您說得對，當(dāng)n是偶數(shù)時，gcd(2?, n) ＞ 1，我的證明就不成立了。"
"沒關(guān)系，這很正常。"李教授笑了笑，"競賽數(shù)學(xué)就是這樣，需要考慮所有可能的情況。"
他繼續(xù)解釋："當(dāng)n是偶數(shù)時，可以寫成n = 2?m，其中m是奇數(shù)。那么我們只需要證明2? ≡ 1 (mod m)，然后選擇合適的k使得2?-1被2?整除即可。"
我恍然大悟："原來如此！這需要用到費馬小定理和歐拉定理。"
"正確！看來你的基礎(chǔ)還不錯，但在嚴(yán)謹(jǐn)性方面需要加強(qiáng)。"
接下來的兩個小時，李教授給我講解了數(shù)論的基礎(chǔ)知識：
同余理論、歐拉函數(shù)、原根、二次剩余...
這些都是競賽數(shù)學(xué)的重要工具。
【恭喜宿主學(xué)習(xí)高等數(shù)論，獲得積分2000！】
"林浩，競賽數(shù)學(xué)不僅需要技巧，更需要嚴(yán)密的邏輯思維。"李教授最后說道，"回去后多做一些數(shù)論題，下周我們講組合數(shù)學(xué)。"
走出李教授的辦公室，我感到收獲很大。
雖然我有系統(tǒng)的幫助，但專業(yè)的指導(dǎo)同樣重要。
李教授不僅教給我知識，更重要的是教會我如何思考。
期中考試成績很快公布了。
不出所料，我又是年級第一，總分750分，幾乎接近滿分。
更重要的是，數(shù)學(xué)150分滿分，而且李教授告訴我，我是全年級唯一一個把最后兩道競賽題完全做對的學(xué)生。
"林浩，你的數(shù)學(xué)天賦真的很強(qiáng)。"李教授對我說，"我決定推薦你參加明年二月的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。"
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽！
這是通往國際奧數(shù)競賽的必經(jīng)之路。
如果能在聯(lián)賽中獲得好成績，就有機(jī)會進(jìn)入國家集訓(xùn)隊，代表中國參加國際奧數(shù)競賽。
"謝謝李教授的推薦！我一定會努力的！"
"不過，聯(lián)賽的難度比你剛才做的題目還要高很多。"李教授提醒我，"從現(xiàn)在開始，你需要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)競賽數(shù)學(xué)的各個分支：代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合。"
"我準(zhǔn)備好了！"
【觸發(fā)新任務(wù)：在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中獲得一等獎】
【任務(wù)獎勵：50000積分】
系統(tǒng)居然發(fā)布了新任務(wù)！
50000積分的獎勵讓我興奮不已。
有了這些積分，我就能購買更高級的技能。
我查看了一下系統(tǒng)商城，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了全新的技能類別：
【競賽專精技能】
【數(shù)學(xué)直覺MAX：40000積分】
【邏輯推理強(qiáng)化：30000積分】
【創(chuàng)新思維：35000積分】
【解題洞察：25000積分】
看到這些技能，我更加堅定了參加競賽的決心。
接下來的幾個月，我將全力以赴地準(zhǔn)備數(shù)學(xué)聯(lián)賽。
不僅要保持高考成績的領(lǐng)先，還要在競賽方面取得突破。
這將是我面臨的最大挑戰(zhàn)，也是證明自己實力的最好機(jī)會。
放學(xué)后，我給江雨薇發(fā)了消息，告訴她我要參加數(shù)學(xué)競賽的事。
【真的嗎？太厲害了！】她回復(fù)道。
【你要代表學(xué)校參加全國比賽嗎？】
【是的，明年二月的全國聯(lián)賽。】
【加油！我相信你一定能拿到好成績！】
【謝謝，等你升到高三，我們一起沖刺高考?！?/p>
【嗯！我會更加努力學(xué)習(xí)的！】
看著江雨薇的鼓勵，我心中充滿了動力。
我要在競賽中取得優(yōu)異成績，不僅為了系統(tǒng)的獎勵，更是為了證明自己的實力。
從學(xué)渣到學(xué)神，從高考尖子生到競賽選手...
我的人生正在以不可思議的速度改變著。
而這一切，還只是開始！